Was ist lineare abbildung?

Lineare Abbildung

Eine lineare Abbildung ist eine Funktion zwischen zwei Vektorräumen, die die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation erhält. Sie ist ein zentrales Konzept in der linearen Algebra und findet breite Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik, Physik und Informatik.

Definition:

Seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f: V → W heißt lineare Abbildung (oder Vektorraumhomomorphismus), wenn für alle Vektoren u, v ∈ V und alle Skalare α ∈ K gilt:

Additivität: f(u + v) = f(u) + f(v)
Homogenität: f(αu) = αf(u)

Wichtige Eigenschaften und Konzepte:

Kern (Nullraum): Der Kern einer linearen Abbildung f: V → W ist die Menge aller Vektoren in V, die auf den Nullvektor in W abgebildet werden: Ker(f) = {v ∈ V | f(v) = 0}. Der Kern ist ein Untervektorraum von V.
Bild (Wertebereich): Das Bild einer linearen Abbildung f: V → W ist die Menge aller Vektoren in W, die als Bilder von Vektoren in V erhalten werden können: Im(f) = {w ∈ W | ∃v ∈ V: f(v) = w}. Das Bild ist ein Untervektorraum von W.
Rang einer linearen Abbildung: Der Rang einer linearen Abbildung ist die Dimension des Bildraums, d.h., rank(f) = dim(Im(f)).
Defekt einer linearen Abbildung: Der Defekt einer linearen Abbildung ist die Dimension des Kerns, d.h., def(f) = dim(Ker(f)).
Rangsatz: Für jede lineare Abbildung f: V → W gilt: dim(V) = rank(f) + def(f).
Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:
- Eine lineare Abbildung f ist injektiv, wenn Ker(f) = {0}.
- Eine lineare Abbildung f ist surjektiv, wenn Im(f) = W.
- Eine lineare Abbildung f ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Eine bijektive lineare Abbildung wird auch Isomorphismus genannt.
Matrixdarstellung einer linearen Abbildung: Jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen kann durch eine Matrix dargestellt werden. Die Wahl der Basen für die Vektorräume bestimmt die spezifische Matrix.
Eigenwerte und Eigenvektoren: Für eine lineare Abbildung (oder Matrix) A sind Eigenvektoren Vektoren, die durch die Abbildung nur um einen Skalarfaktor (den Eigenwert) gestreckt werden.

Beispiele:

Die Nullabbildung (f(v) = 0 für alle v ∈ V) ist eine lineare Abbildung.
Die Identitätsabbildung (f(v) = v für alle v ∈ V) ist eine lineare Abbildung.
Die Ableitung ist eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum der differenzierbaren Funktionen.
Die Integration ist eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen.
Drehungen und Spiegelungen in der Ebene oder im Raum sind lineare Abbildungen.

Anwendungen:

Lineare Abbildungen sind fundamental in vielen Bereichen:

Lineare Algebra: Lösung linearer Gleichungssysteme, Matrizenrechnung.
Analysis: Linearisierung von Funktionen, Differentialgleichungen.
Geometrie: Transformationen von geometrischen Objekten.
Informatik: Computergrafik, maschinelles Lernen.
Physik: Quantenmechanik, Elektrodynamik.